Ora che sappiamo scrivere correttamente una proposizione logica, possiamo procedere col comprendere come si formulano le Dimostrazioni Matematiche, cioè il principale metodo con cui si conferisce validità logica indiscutibile ad una proposizione.
Quando una proposizione è stata convalidata da una appropriata Dimostrazione prende solitamente il nome di Teorema.
Condizioni
Una implicazione logica è un rapporto tra due proposizioni. In particolare dichiara che, se la prima è vera, anche la seconda lo è.
Si indica con una freccia che parte dalla proposizione assunta per vera, detta ipotesi, a quella implicata, detta tesi. In base all’ordine in cui ciò avviene, possiamo dividerle in tre categorie:
1) Condizione Necessaria: ipotesi → tesi (la verità dell’ipotesi implica la verità della tesi)
2) Condizione Sufficiente: ipotesi → tesi (la verità della tesi implica la verità dell’ipotesi)
3) Condizione Necessaria e Sufficiente: ipotesi ↔ tesi (la verità dell’ipotesi implica la verità della tesi e viceversa. Ovviamente in questo caso tesi ed ipotesi possono essere invertite)
Dimostrazioni Matematiche
In termini generali, le Dimostrazioni Matematiche sono i procedimenti che permettono di verificare che tra due proposizioni esista un’implicazione logica.
La tecnica più semplice e intuitiva con cui ciò può esser realizzato è la Dimostrazione Diretta, ovvero la ricerca di collegamenti (solitamente passaggi aritmetici) che immediatamente conducono dall’ipotesi alla tesi.
Ad esempio:
– Ipotesi: P = {x∈N: x =2n, n∈N} (“P è l’insieme dei numeri appartenenti ad N che sono multipli di 2”, cioè “P è l’insieme dei numeri pari”);
– Tesi: 46∈P (“46 appartiene a P”);
– Dimostrazione: 46 = 2n, n = 23 (“46 è multiplo di 2, in quanto 2*23 = 46”)
In questo modo abbiamo dimostrato che esiste un’implicazione logica tra ipotesi e tesi, ovvero la tesi è condizione necessaria dell’ipotesi.
Le tecniche indirette di effettuare una Dimostrazione sono invece:
1) Proposizione Controinversa: consiste nel dimostrare direttamente che
Negazione tesi → Negazione ipotesi
2) Dimostrazione per Assurdo: si dimostra che la negazione della tesi implica che l’ipotesi non possa più essere assunta per vera, poiché essa violerebbe per qualche ragione i principi logici di non contraddizione e del terzo escluso
3) Dimostrazione per Induzione: valido per dimostrare un’implicazione che si riferisce ai Numeri Naturali. Si suddivide in tre passaggi operativi:
– Base dell’induzione: si dimostra che la tesi è vera per due Numeri Naturali in successione, come “1” e “2”
– Passo induttivo: si assume che la tesi sia vera per un generico Numero Naturale “n” ed il suo successore “n+1”
– Dimostrazione: Si dimostra che la tesi per “n” sia uguale alla tesi per “n+1”
Ora disponiamo di tutte le conoscenze preliminari per poterci addentrare nella Matematica come siamo soliti vederla, cioè nella forma delle espressioni algebriche.
Lezione precedente: “Quantificatori logici e Connettivi logici”
