Cosa sono gli insiemi? In questa pagina ci avventureremo nel mondo della matematica a partire dalle sue fondamenta. Introduciamo con un po’ di storia. La Teoria degli Insiemi rappresenta la base astratta su cui si poggia l’intero pensiero matematico. È un settore della logica matematica, affrontata in primis da Aristotele, cioè il ramo della filosofia che si occupa della definizione formale di concetti intuitivi come il calcolo o le dimostrazioni logiche. Trattata fino al XIX secolo come una teoria puramente intuitiva, fu il matematico tedesco Georg Cantor a stabilirne i primi assiomi (cioè le affermazioni che assumiamo a priori, non confutabili), i quali furono poi rivisti ed ampliati da altre menti, come Gödel e Von Neumann. Andiamo perciò a studiarne gli assiomi.
Insiemi ed Operazioni
• Un Insieme è definito come concetto primitivo, ovvero non riconducibile a idee più semplici. È descritto come una collezione di Elementi astratti, i quali possono essere qualsiasi oggetto:
numeri, lettere, corpi fisici, etc…
• La composizione di un insieme si scrive nel modo seguente:
A = {a, b, c…}
Equivale ad affermare che gli elementi “a”, “b”, “c” etc… costituiscono l’insieme A.
Un insieme non costituito da nessun elemento è detto Insieme Vuoto: Ø
• L’appartenenza di un elemento ad un determinato insieme è formalmente scritta col simbolo ∈.
Ad esempio:
Dato un elemento x ed un Insieme A, leggiamo “x ∈ A” come “x appartiene ad A”.
Allo stesso modo leggiamo “x ∉ A” come “x non appartiene ad A”.
• Dati un insieme A ed un insieme B, son definite le seguenti operazioni tra insiemi:
1. Unione: “A ∪ B” = Genera un insieme che include tutti gli elementi dei due insiemi.
2. Intersezione: “A ∩ B” = costituisce un insieme che include gli elementi in comune dei due insiemi.
3. Sottoinsieme (Inclusione): Indica che tutti gli elementi di A appartengono anche a B. Ne distinguiamo due tipologie:
– Sottoinsieme Proprio: “A ⊂ B” = tutti gli elementi di A sono contenuti in B, ma non tutti gli elementi di B sono contenuti in A (B ha più elementi di A);
– Sottoinsieme Improprio: “A ⊆ B” = tutti gli elementi di A sono contenuti in B (A e B possono avere gli stessi elementi).
4. Differenza: “A – B” (Oppure “A B”) = crea un insieme che include esclusivamente gli elementi di A, rimuovendo i possibili elementi in comune con B.
5. Complementare: Considerando un insieme Unione “A ∪ B”, è detto complementare la differenza tra l’insieme unione e l’insieme. Ovvero:
AC = (A ∪ B) – A
BC = (A ∪ B) – B
6. Prodotto Cartesiano: “A x B” crea un insieme costituito da coppie ordinate degli elementi dei due insiemi nella forma (a, b), in cui “a” è il primo elemento di A e “b” il primo elemento di B.
Ad esempio:
A = {1, 2}; B = {3, 4};
A x B = {(1,3), (2,4)}
Successivamente vedremo come queste operazioni ci serviranno ad introdurre gli Insiemi Numerici, cioè gli insiemi i cui elementi sono i numeri, i costituenti essenziali del calcolo matematico.
