Cinematica – Introduzione: La Matematica nell’Universo

Cinematica – Introduzione: La Matematica nel nostro Universo. La Cinematica, settore su cui si reggono le basi di tutte le branche della Fisica, è figlia della rivoluzione scientifica messa in atto da Galileo Galilei e poi proseguita da luminari, tra i più noti, come Isaac Newton o André- Marie Ampére, che ne coniò il nome (dal francese, “cinématique”). Si occupa dello studio del moto corpi attraverso le nozioni ereditate dall’Algebra Lineare, dalla Geometria Cartesiana e dal Calcolo Infinitesimale. In realtà, potremmo dire che l’intera disciplina della Fisica sia descrivibile come l’opera di ricondurre fenomeni empiricamente osservati a modelli matematici ideali su cui possiamo svolgere operazioni e compiere previsioni esatte.

Per potersi destreggiare nella lettura della Cinematica (e successivamente anche dei settori della Fisica più recenti) è perciò necessario aver acquisito in modo chiaro alcune nozioni matematiche preliminari, che ora illustrerò brevemente.

spazio vettoriale cinematica

Calcolo Vettoriale

Un vettore è un elemento proprio di uno Spazio Vettoriale, in parole semplici un insieme su cui è possibile svolgere tutte le operazioni aritmetiche per manipolarne gli oggetti. Uno Spazio Vettoriale è caratterizzato da un numero fissato di dimensioni, ovvero la quantità di numeri reali, chiamati coordinate, necessari per determinare in modo univoco la posizione di un vettore nello spazio. Ovviamente nella trattazione della cinematica classica adotteremo un ambiente a 3 dimensioni, corrispondenti ai tre assi dello Spazio Cartesiano, generalmente definito dai tre assi x, y e z.

Un Vettore Geometrico è un segmento che passa per due vettori nello spazio ed è caratterizzato da 3 proprietà:

–  la Direzione, ovvero il segmento che congiunge i due vettori;

– il Modulo, la distanza pitagorica tra questi due (quindi la lunghezza del segmento);

– il Verso, l’orientamento del segmento rispetto ai vettori dello spazio (ad esempio, orientata per numeri crescenti sull’asse x, per numeri decrescenti sull’asse y etc…)

Questa definizione risulta particolarmente utile nell’analisi del moto dei corpi, dal momento che, come vedremo nel dettaglio anche in seguito, dispongono della proprietà di esser suddivisi in componenti sugli assi, tramite l’applicazione dei teoremi trigonometrici:

componenti vettore cinematica

 1) Componente sull’asse x del vettore V:

Immagine cinematica 

2)Componente sull’asse y del vettore V:

cghfhg cinematica

Dove chiaramente,

vxg cinematica

e

vxg cinematica

per il Teorema di Pitagora.

Calcolo Infinitesimale

Altri strumenti di fondamentale importanza nella Fisica sono stati concessi dal calcolo infinitesimale. Nel dettaglio questi sono:

Limite

limite cinematica

cghfhg

 Operazione che ci permette di stabilire a quale valore “l” si    avvicina la funzione quando essa tende indefinitamente ad un valore x0 da noi scelto, senza però arrivare a toccarlo.

Differenziale

vxg cinematica

Applicazione del concetto di Limite, il differenziale (o variazione infinitesima) ci permette di calcolare il valore a cui si approssima la funzione quando questa si discosta dal valore x0 di un intervallo infinitamente piccolo.

 Derivata

derivata cinematica

vxg cinematica

La derivata ci permette di osservare la variazione infinitesima del valore di una funzione in rapporto con la variazione infinitesima delle sue variabili indipendenti.

È utile osservare come questa possa valere come rappresentazione del coefficiente angolare della retta passante per x0, dal momento che:

vxg cinematica

ed è perciò di forte utilità nel definire l’andamento della funzione nei termini di come essa cresce o decresce nell’istante preso in esame.

Integrale

integrale cinematica

vxg cinematica

L’integrale offre una risoluzione al problema di calcolare le aree sottese da una funzione delimitata dagli estremi x1 e x2 attraverso la sommatoria delle aree dei “gradini” rettangolari (funzioni a gradinata) che la costituiscono. Ciò viene effettuato sommando i prodotti tra le variazioni infinitesimali sull’asse x per un valore f(x) in esse compreso.

Successivamente esamineremo come queste nozioni ci serviranno nella risoluzione dei problemi basilari della cinematica, muovendo i primi passi nella comprensione della Fisica Classica.

Lezione successiva: “Traiettoria e Leggi Orarie”

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