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Insiemi

Insiemistica: Definizioni e Operazioni tra Insiemi

Cosa sono gli insiemi? In questa pagina ci avventureremo nel mondo della matematica a partire dalle sue fondamenta. Introduciamo con un po’ di storia…

La Teoria degli Insiemi rappresenta la base astratta su cui si poggia l’intero pensiero matematico. È un settore della logica matematica, affrontata in primis da Aristotele, cioè il ramo della filosofia che si occupa della definizione formale di concetti intuitivi come il calcolo o le dimostrazioni logiche.
Trattata fino al XIX secolo come una teoria puramente intuitiva, fu il matematico tedesco Georg Cantor a stabilirne i primi assiomi (cioè le affermazioni che assumiamo a priori, non confutabili), i quali furono poi rivisti ed ampliati da altre menti, come Gödel e Von Neumann.
Andiamo perciò a studiarne gli assiomi.

Insiemi ed Operazioni

•    Un Insieme è definito come concetto primitivo, ovvero non riconducibile a idee più semplici. È descritto come una collezione di Elementi astratti, i quali possono essere qualsiasi oggetto:
numeri, lettere, corpi fisici, etc…

•    La composizione di un insieme si scrive nel modo seguente:
A = {a, b, c…}
Equivale ad affermare che gli elementi “a”, “b”, “c” etc… costituiscono l’insieme A.
Un insieme non costituito da nessun elemento è detto Insieme Vuoto: Ø

•    L’appartenenza di un elemento ad un determinato insieme è formalmente scritta col simbolo ∈.

Ad esempio:
Dato un elemento x ed un Insieme A, leggiamo “x ∈ A” come “x appartiene ad A”.
Allo stesso modo leggiamo “x ∉ A” come “x non appartiene ad A”.

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Esempio di appartenenza: Rettangolo∈FigureGeometriche.

 

 

•   Dati un insieme A ed un insieme B, son definite le seguenti operazioni tra insiemi:

1.  Unione: “A ∪ B” = Genera un insieme che include tutti gli elementi dei due insiemi.

 

unione-degli-insiemi-disgiunti

2. Intersezione: “A ∩ B” = costituisce un insieme che include gli elementi in comune dei due insiemi.

intersezione-degli-insiemi

 

3. Sottoinsieme (Inclusione): Indica che tutti gli elementi di A appartengono anche a B. Ne distinguiamo due tipologie:
–  Sottoinsieme Proprio: “A  B” = tutti gli elementi di A sono contenuti in B, ma non tutti gli elementi di B sono contenuti in A (B ha più elementi di A);
–  Sottoinsieme Improprio: “A  B” =  tutti gli elementi di A sono contenuti in B (A e B possono avere gli stessi elementi).

sottoinsieme-esempio

 

4. Differenza: “A – B” (Oppure “A \ B”) = crea un insieme che include esclusivamente gli elementi di A, rimuovendo i possibili elementi in comune con B.

differenza-insiemi

 

5. Complementare: Considerando un insieme Unione “A ∪ B”, è detto complementare la differenza tra l’insieme unione e l’insieme. Ovvero:
AC  = (A ∪ B) – A
BC = (A ∪ B) – B

 

6. Prodotto Cartesiano: “A x B” crea un insieme costituito da coppie ordinate degli elementi dei due insiemi nella forma (a, b), in cui “a” è il primo elemento di A e “b” il primo elemento di B.
Ad esempio:
A = {1, 2}; B = {3, 4};
A x B = {(1,3), (2,4)}

 

Successivamente vedremo come queste operazioni ci serviranno ad introdurre gli Insiemi Numerici, cioè gli insiemi i cui elementi sono i numeri, i costituenti essenziali del calcolo matematico.

Riguardo a Raffaele Brilli

Raffaele Brilli

Studente di Ingegneria a Perugia, iscritto al corso di Informatica ed Elettronica.
Son da sempre interessato alle scienze e trovo affascinante l’analisi dei problemi della quotidiana esistenza con approccio matematico.
Le mie passioni sono la tecnologia, la musica ed il web writing.
In questo giornale pubblico lezioni di Matematica, Fisica ed approfondimenti sulle ultime scoperte nel settore!

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